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新題型之?dāng)?shù)學(xué)運算――因式分解

因式分解指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,因式分解方法靈活,技巧性強,是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。其方法包括提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法以及拆項和添項法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法、輪換對稱法等。

　　【例題1】分解7x²一l9x一6

　　解析:此題用十字相乘法。

對于mx²+px+q形式的多項式,如果a×b＝m,c×d＝q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

1                             －3

    7        2

    2－21＝-19

　　則7x²一l9x一6=(7x+2)(x一3)

　　這是較為簡單的試題,在公務(wù)員考試中不可能會出現(xiàn),但其指導(dǎo)思想是需要掌握的,因為類似的變形試題在考試中會時常出現(xiàn)。

　　【例題2】分解x²+3x一40

　　解析:此題用配方法。

　　對于那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解。

　　x²+3x-40

　　=x²+3x+2.25－42.25

　　=(x+1.5)²－(6.5)²

　　=(x+8)(x－5)

　　這種方法相對而言比上面的簡明快捷,但需要仔細從題目中觀察規(guī)律,找出配方的“點”,如此便豁然開朗。

　　【例題3】分解x⁴-x³-5x²-6x-4

　　解析:此題用待定系數(shù)法。

　　首先判斷出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項式因式分解。

　　已知這個多項式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。

　　解設(shè)x⁴-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d)

　　=x⁴+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd

　　所以解得a=1,b=1,c=-2,d=-4

　　則x⁴-x³-5x²-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)

　　這種方法的特點就是化繁為簡。

　　以下是應(yīng)掌握的幾種相關(guān)公式:

　　1.a²-b²=(a-b)(a+b)

　　2.a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

　　3.a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

　　4.a²+2ab+b²=(a+b)²

　　5.a²-2ab+b²=(a-b)²

　　6.a³±3a²b+3ab²+b3=(a±b)³

　　7.a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²

　　8.a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

　　9.aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…-b^n-1);n為正整數(shù)

　　10.aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…+b^n-1);n為正偶數(shù)

11.aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+…b^n-1);n為正奇數(shù)