新題型之數(shù)學運算――中國剩余定理
內容精講
我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中,記載這樣一個問題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何。”用現(xiàn)在的話來說就是:“有一批物品,三個三個地數(shù)余二個,五個五個地數(shù)余三個,七個七個地數(shù)余二個,問這批物品最少有多少個。″這個問題的解題思路,被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。國際上稱之為“中國剩余定理”。
為了解決這個問題,明朝數(shù)學家程大位把這一解法編成四句歌訣:
三人同行七十(70)稀,五樹梅花廿一(21)枝,
七子團圓正月半(15),除百零五(105)便得知。
歌訣中每一句話都是一步解法:第一句指除以3的余數(shù)用70去乘;第二句指除以5的余數(shù)用21去乘;第三句指除以7的余數(shù)用15去乘;第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105,就減去l05的倍數(shù),就得到答案了。即:
70×2＋21×3＋15×2一105×2＝23。
【例題】有一個年級的同學,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,這個年級至少有多少人7
解析:題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。
則〔7,5〕＝35〔9,5〕＝45;〔9,7〕＝63〔9,7,5〕＝315。
為了使35被9除余1,用35×8＝280;
使45被7除余1,用45×5＝225,
使63被5除余1,用63×2＝126。
然后,280×5＋225×l＋l26×2＝1877,
所以,l877一315×5＝302,就是所求的數(shù)。
試題精選
1.一個數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數(shù)最小是幾?( )
A.45B.34
C.36D.40
2.一個數(shù)被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個數(shù)最小是幾?( )
A.55B.54
C.53D.21
3.一個數(shù)除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條件的最小的自然數(shù)。( )
A.145B.l00
C.299D.l85
4.有一個年級的同學,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,問這個年級至少有多少人?( )
A.345B.334
C.336D.302
5.有一個年級的同學,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,問這個年級至少有多少人?( )
A.303B.304
C.306D.340
6.有一個數(shù),除以3余2,除以4余1,問這個數(shù)除以12余幾?( )
A.2B.3
C.4D.5
7.一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數(shù)。( )
A.21B.22
C.23D.24
參考答案解析
1.B【解析】題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質。
則〔4,5〕＝20;〔3,5〕=15〔3,4〕=12;〔3,4,5〕＝60。
為了使20被3除余1,用20×2＝40;
使l5被4除余1,用l5×3＝45;
使12被5除余1,用l2×3＝36。
然后,40×1＋45×2＋36×4＝274,
因為,274＞60,所以,274一60×4＝34,就是所求的數(shù)。故選B。
2.C【解析】題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質。
則〔7,8〕＝56〔3,8〕＝24;〔3,7〕＝21;〔3,7,8〕＝168.
為了使56被3除余1,用56×2＝112;
使24被7除余1,用24×5＝120;
使21被8除余1,用21×5＝105;
然后,ll2×2＋l20×4＋105×5＝1229,
因為,1229＞168,所以,1229一l68×7＝53,就是所求的數(shù)。故選C。
3.C【解析】題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質。
則〔8,11〕＝88;〔5,11〕＝55〔5,8〕＝40;〔5，8,ll〕＝440.
為了使88被5除余1,用88×2＝176;
使55被8除余1,用55×7＝385;
使40被11除余1,用40×8＝320。
然后,l76×4＋385×3十320×2＝2499,
因為,2499＞440,所以,2499一440×5＝299,就是所求的數(shù)。故選C。
4.D【解析】題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。
則〔7,5〕＝35;〔9,5〕＝45;〔9,7〕＝63〔9,7,5〕＝315。
為了使35被9除余1,用35×8＝280;
使45被7除余1,用45×5＝225;
使63被5除余1,用63×2＝126。
然后,280×5＋225×l＋l26×2＝1877,
因為,1877＞315,所以,1877一315×5＝302,就是所求的數(shù)。故選D。
5.A【解析】題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。
則〔7,5〕＝35;〔9,5〕＝45;〔9,7〕＝63;〔9,7,5〕＝315。
為了使35被9除余1,用35×8＝280;
使45被7除余1,用45×5＝225;
使63被5除余1,用63×2＝126。
然后,280×6＋225×2＋l26×3＝2508,
因為,2508＞315,所以,2508一315×7＝303,就是所求的數(shù)。故選A。
6.D【解析】除以3余2的數(shù)有:2,5,8,11,14,17,20,23…。它們除以12的余數(shù)是：2，5，8，11,2,5,8,11,…。除以4余1的數(shù)有:1,5,9,l3,17,21,25,29,…。它們除以12的余數(shù)是:1,5,9，1，5，9，…。
一個數(shù)除以12的余數(shù)是唯—的.上面兩行余數(shù)中,只有5是共同的,因此這個數(shù)除以12的余數(shù)是5。故選D。
7.C【解析】先列出除以3余2的數(shù):2，5,8,11,14,17,20, 23，26，…,再列出除以5余3的數(shù):3,8,13,18,23,28，…
這兩列數(shù)中,首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8.3與5的最小公倍數(shù)是15。兩個條件合并成一個就是8＋l5×整數(shù),列出這一串數(shù)是8,23,38,…,再列出除以7余2的數(shù)2,9,l6,23,30,…,就得出符合題目條件的最小數(shù)是23。故選C.
